orígenes de ala geometría no euclidiana...

La Geometría griega es la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás.


La figura de Pitágoras y de la secta de seguidores pitagóricos tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto denúmero, arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia de la Matemática aún no existe distinción clara entre Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración formal como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría.

euclides

hacia el año 300 a.de c. Euclides escribió "los elementos" u libro que se convertiría en uno de los libros mas famosos e hizo 5 postulados sobre los que basaría todas sus teorías.


La Geometría es concebida como la parte de la Matemática que trata de las propiedades de las figuras en el plano y en el espacio, y que junto a la Aritmética y el Álgebra y Análisis conforma el conjunto del edificio matemático.


Los conocimientos matemáticos más antiguos llegados hasta nosotros aparecen en relación con fenómenos de dos tipos: socio-económicos y celestes. En este contexto, no es de extrañar que nuestro sistema decimal provenga de los dedos de las manos, lo que relaciona la estructura decimal de nuestro sistema numérico con la realidad.


La geometría no euclidiana es llamada así por su oposición a uno de los postulados del sistema deductivo de Euclides, desarrollado en sus Elementos de Geometría. Se trata del quinto postulado, ya citado arriba, y que formula la imposibilidad de que por un punto exterior a una recta pueda ser trazada más de una paralela a dicha recta.

Gauss

En la segunda década del siglo XIX, más en concreto alrededor de 1824, Carl Friedrich Gauss  concluyó que debían ser posibles geometrías alternativas a la de Euclides. Pese a ello, y como señala Henderson, “Gauss nunca publicó sus pensamientos sobre geometría no euclidiana, y por eso el honor de su descubrimiento oficial ha sido dado a Nikolai Ivanovich Lobachevski, ruso, y János Bolyai, húngaro, que separadamente formularon el primer sistema de geometría no euclidiana” . Por lo que al primero respecta, ha de señalarse que Lobachevsky publicó “On the Principles of Geometry” en el Kazan Messenger, describiendo la “geometría imaginaria” que, desde 1826, había desarrollado. Por su parte, Bolyai publicó en 1832 “Absolute Science of Space”, apareciendo como un apéndice al tratado matemático de su padre titulado Tentamen. No obstante, Bolyai había completado su manuscrito hacia 1829.


una alternativa consistente al sistema de Euclides comienza a ser formulada. Lobachevsky y Bolyai optaron por la misma alternativa al citado quinto postulado de Euclides: a través de un punto exterior a una recta dada puede ser dibujada más de una línea que no corte la recta dada. Existen infinito número de líneas que, aunque se aproximen a la recta dada, como se extienden hasta el infinito, nunca se intersectarán. Similarmente, la suma de los ángulos de un triángulo será menos de los 180º de la geometría euclidiana. La consistencia lógica de la alternativa de Lobatchevsky la ha subrayado Poincaré al afirmar que sus proposiciones “no tienen ninguna relación con las de Euclides, pero no están menos lógicamente ligadas unas con otras” .