objetivo de estudio de la geometría no euclidiana.

 Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos.


 La geometría euclídea se ha utilizado con éxito durante más de dos mil años y en la actualidad sigue siendo la base para la realización de obras de ingeniería, proyectos arquitectónicos y muchas otras aplicaciones. Nuestro Universo, a pequeña escala, se ajusta perfectamente a las leyes de Euclides y a su geometría tridimensional.


algunos de los precursores de la geometría no Euclideana:

Representante: GAUSS, K. F. (1777 – 1855)

Nació en Alemania, Gotinga. Formuló una Geometría que llamó NO EUCLIDEANA. Se dio cuenta de la naturaleza intrínseca de las dificultades dedemostrar el quinto postulado. La hipótesis que formuló es que "La suma de los ángulos (de un Triángulo) es menor que 180° conduce a una Geometríamuy curiosa". Esta Geometría es completamente consistente. En su época consideró en una carta a un amigo (Taurinus, F. A.) que los teoremas eran paradójicos y, para los no iniciados, absurdo, aunque con un poco de reflexión no tienen nada de imposible.

Representante: BOLYAI, W.

Nació en Hungría, compañero de Gauss en la Universidad de Gotinga. Realizó una demostración del quinto postulado de Euclides que luego, Gauss invalidara al darse cuenta de un error en dicha demostración. Publicó dos volúmenes de un tratado de Geometría en 1832 – 1833, pero su mayor contribución fue su hijo JOHANN BOLYAI.

Representante: Johann Bolyai

Hijo del Geómetra Húngaro Wolfgang Bolyai, estudió las consecuencias que se derivan de negar el Postulado quinto, suponiendo que no existe ninguna Paralela. Utilizó la formulación de PLAYFAIR del quinto Postulado, es decir, que existen mas de una. Usó la Hipó tesis del Ángulo Agudo de SACCHERI, aunque diferían en sus planteamientos, ya que, BOLYAI sabía que estaba desarrollando una nueva Geometría. Este joven Matemático escribió un Apéndice de 26 páginas al tratado de su padre, donde plasmaba las investigaciones de 10 años. Destaco que GAUSS al recibir este Apéndice abandonó sus investigaciones de escribir sus propios resultados producto de 30 años, cuestión que decepcionó al joven, sin embargo, en una carta escrita por GAUSS a su amigo G. I. GERLING, dice: "Considero al joven Geómetra BOLYAI un genio de primera fila", porque todos estos resultados coinciden con los que obtuve hace mucho tiempo.

Representante: N. I. Lobachevsky

Nació el 20 de Noviembre (1de Diciembre según el estilo nuevo) de 1792 en Rusia. Profesor en la Universidad de Kasán. Publicó sus resultados en el año de 1829 y junto a BOLYAI y GAUSS se encuentra la creación de la llamada GEOMETRÍA HIPERBÓLICA nombre dado por FELIX KLEIN.

Destaco que los representantes anteriores están presentes en una primera etapa en el desarrollo de la Geometría no Euclideana, exponiendo los aspectos mas importantes de cuatro grandes Geómetras de la humanidad como lo son: Los BOLYAI, GAUSS y LOBACHEVSKI, sin embargo en los siguientes representantes reflejo lo mas resaltante de las obras de tres Matemáticos que considero fundamentales en el desarrollo universal de la Geometría, uno de la época de BOLYAI, GAUSS y LOBACHEVSKI y los otros dos de la segunda parte en el desarrollo de la Geometría no Euclideana.

Representante: G. Saccheri

Nación en Italia, profesor de Matemáticas en la Universidad de Pavia. Fue quien dio un resultado mas elaborado en la demostración del Quinto Postulado y que ha tenido mayor alcance en sus consecuencias.

Su gran obra, un tratado de Geometría Euclideana que publicó en 1733, de la cual no hay indicio de que BOLYAI, GAUSS ni LOBACHEVSKI la hallan leído, ya que, tenía la formulación de tres Hipótesis dos de las cuales demostró y una que escudriñó para encontrar una contradicción que nunca llegó. Estas Hipótesis las señalas en su "demostración" del Quinto Postulado.